導出のための下準備

座標変換

　直交座標における単位ベクトル \((\bm{e_{x}},\bm{e_{y}},\bm{e_{z}})\) と、球座標における単位ベクトル \((\bm{e_{r}},\bm{e_{\theta}},\bm{e_{\phi}})\) の関係を導出しておきます。 球座標での単位ベクトルはそれぞれ、 \begin{align*} \bm{e_{r}}=\frac{\partial \bm{r}}{\partial r}/\left|\frac{\partial \bm{r}}{\partial r}\right|,\,\,\bm{e_{\theta}}=\frac{\partial \bm{r}}{\partial \theta}/\left|\frac{\partial \bm{r}}{\partial \theta}\right|,\,\,\bm{e_{\phi}}=\frac{\partial \bm{r}}{\partial \phi}/\left|\frac{\partial \bm{r}}{\partial \phi}\right| \end{align*} から求めることが出来ます。 分母にあるのは絶対値、すなわちベクトルの大きさです。
この式に、 \(\bm{r}=r\sin\theta\cos\phi\,\bm{e_{x}}+r\sin\theta\sin\phi\,\bm{e_{y}}+r\cos\theta\,\bm{e_{z}}\) を代入して計算することによって、球座標での単位ベクトル \((\bm{e_{r}},\bm{e_{\theta}},\bm{e_{\phi}})\) と直交座標での単位ベクトル \((\bm{e_{x}},\bm{e_{y}},\bm{e_{z}})\) の関係を求めることが出来ます。 それぞれ計算すると、 \begin{align*} \bm{e_{r}}&=\sin\theta\cos\phi\,\bm{e_{x}}+\sin\theta\sin\phi\,\bm{e_{y}}+\cos\theta\,\bm{e_{z}} \\ \bm{e_{\theta}}&=\cos\theta\cos\phi\,\bm{e_{x}}+\cos\theta\sin\phi\,\bm{e_{y}}-\sin\theta\,\bm{e_{z}} \\ \bm{e_{\phi}}&=-\sin\phi\,\bm{e_{x}}+\cos\phi\,\bm{e_{y}} \end{align*} となります。 行列形式で書き表してやると、 \begin{align*} \left( \begin{array}{c} \bm{e_{r}}\\ \bm{e_{\theta}}\\ \bm{e_{\phi}} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta \\ \cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \bm{e_{x}}\\ \bm{e_{y}}\\ \bm{e_{z}} \end{array} \right) \end{align*} と書くことが出来ます。 行列部分が、直交座標から球座標への座標変換を行うための行列になっています。 この逆変換、つまり行列の逆行列を求めることができれば、球座標から直交座標への座標変換に対応する行列が分かることになります。

　まず、任意のスカラー関数 \(f=f\!\left(r,\theta,\phi\right)\) の勾配 (gradient) を導出します。 直交座標での勾配は、直交座標での偏微分演算子と単位ベクトルを用いて \begin{align*} \nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)\bm{e_{x}}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)\bm{e_{y}}+\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)\bm{e_{z}} = \left( \begin{array}{ccc} \bm{e_{x}} & \bm{e_{y}} & \bm{e_{z}} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z} \end{array} \right) \,f \end{align*} と表すことが出来ます。 右辺の単位ベクトル部分と偏微分演算子の部分を、行列 \(A\) とその逆行列を用いて球座標での表現に変えてやると、 \begin{align*} \left( \begin{array}{ccc} \bm{e_{x}} & \bm{e_{y}} & \bm{e_{z}} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \bm{e_{r}} & \bm{e_{\theta}} & \bm{e_{\phi}} \end{array} \right) A\,A^{-1} \left( \begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial r}\\ \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\\ \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \phi} \end{array} \right) \end{align*} となります。 行列 \(A\) とその逆行列の積の部分は単位行列になるため、球座標系での勾配は \begin{align*} \nabla f= \left( \begin{array}{ccc} \bm{e_{r}} & \bm{e_{\theta}} & \bm{e_{\phi}} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial r}\\ \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\\ \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \phi} \end{array} \right) \,f = \frac{\partial f}{\partial r}\bm{e_{r}}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial\theta}\bm{e_{\theta}}+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}\bm{e_{\phi}} \end{align*} と書き表す事ができます。 これで、任意のスカラー関数の勾配 \begin{align*} \nabla f=\bm{e_{r}}\frac{\partial f}{\partial r}+\bm{e_{\theta}}\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial\theta}+\bm{e_{\phi}}\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi} \end{align*} が導出出来ました。

　最後に、球座標でのラプラシアンの表式を導出します。 任意のスカラー関数 \(f=f\!\left(r,\theta,\phi\right)\) にラプラシアンを作用させたものは、 \begin{align*} \Delta f=\nabla^{2}f=\nabla\cdot\left(\nabla f\right) \end{align*} と書く事ができます。 \(\nabla\) はこれまでに求めた球座標での微分ベクトル演算子であり、さらに括弧の中はスカラー関数の「勾配」です。 従って、これまでに求めた関係式を使って、 \begin{align*} \Delta f&=\nabla\cdot\left(\nabla f\right) \\ &=\left(\bm{e_{r}}\frac{\partial}{\partial r}+\bm{e_{\theta}}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}+\bm{e_{\phi}}\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \phi}\right) \cdot \left(\frac{\partial f}{\partial r}\bm{e_{r}}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial\theta}\bm{e_{\theta}}+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}\bm{e_{\phi}}\right) \end{align*} と書くことが出来ます。 0 にならない項のみを書き下すと \begin{align*} \Delta f = \frac{\partial^{2}f}{\partial r^{2}}+\bm{e_{\theta}}\cdot\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial\bm{e_{r}}}{\partial \theta}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}f}{\partial\theta^{2}}+\bm{e_{\phi}}\cdot\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial \bm{e_{r}}}{\partial \phi}+\bm{e_{\phi}}\cdot\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial\theta}\frac{\partial\bm{e_{\theta}}}{\partial \phi}+\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}f}{\partial\phi^{2}} \end{align*} となります。 これまで同様、球座標の単位ベクトルの座標微分は値を持つことに注意して計算し、項をまとめると \begin{align*} \Delta f=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\frac{\partial f}{\partial r}\right) +\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial f}{\partial \theta}\right) +\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}f}{\partial\phi^{2}} \end{align*} が得られます。

　また、演算子の部分だけ取り出すと、 \begin{align*} \Delta=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\frac{\partial}{\partial r}\right) +\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right) +\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}}{\partial\phi^{2}} \end{align*} となります。 これが球座標でのラプラシアン (ラプラス演算子、ラプラス作用素とも) の表式になります。