2 層大気モデルを用いた大気の温室効果

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 1 層大気モデルを用いた大気の温室効果のページでは、大気をモデル化して温室効果を取り入れました。

 地球大気の場合は、1 層大気モデルのパラメータを上手く選べば、表面温度を実際の値と同じに出来る事が分かりました。 しかし、分厚い大気を持つ天体の場合、例えば金星の場合は表面温度を説明する事は出来ませんでした。 1 層大気モデルでは、大気が無い場合の平衡温度の \(2^{1/4}\) 倍が最大の温室効果の場合の最高温度でしたが、層を増やすとどうなるのかを調べてみたいと思います。

目次:


関連ページ:

地表・大気の熱輻射を全て吸収する場合

 計算結果の検算も兼ねて、まずは簡単なモデルから始めます。 太陽からの放射は 2 つの大気層で同じ吸収率で吸収され、地表からの熱輻射は全て大気層に吸収され、また大気層からの熱輻射も別の大気層に全て吸収されるという状況を考えます。 考えるのは以下の状況です。

  • 太陽からの放射のうち一定量が大気に吸収され、残りは透過する
  • 各大気層での太陽放射の吸収率は \(\alpha\) とする
  • 地表からの放射は全て大気層に吸収される
  • 大気層からの放射も全て大気層に吸収される

 地表の温度は \(\Te\)、2 つの大気層のうち下層を大気層 1、上層を大気層 2 とし、それぞれ温度を \(T_{1}\)、\(T_{2}\) とします。 それぞれの輻射は \(\Ie=\sigma\Te^{4}\)、\(I_{1}=\sigma T_{1}^{4}\)、\(I_{2}=\sigma T_{2}^{4}\) とします。 この状況の模式図は下図のようになります。

 まず地表のエネルギー収支を考えます。 太陽からの放射 \(I_{0}\) は、 大気層 2 を通過した後は \(\left(1-\alpha\right)I_{0}\) となり、さらに大気層 1 を通過した後は \(\left(1-\alpha\right)^{2}I_{0}\) となります。 これが太陽から受け取るエネルギーになります。 大気層 2 からの輻射は全て大気層 1 に吸収されると仮定しているため、地表には到達しません。 大気層 1 からの輻射は全て吸収します。 そして \(\Ie\) の放射をしていることになるため、地表のエネルギー収支は以下のようになります。 \begin{align*} \left(1-\alpha\right)^{2}I_{0}+I_{1}=\Ie \end{align*}

 次に大気層 1 のエネルギー収支を考えます。 大気層 2 を通過して大気層 1 まで届く太陽放射は \(\left(1-\alpha\right)I_{0}\) であり、これに \(\alpha\) をかけた分が大気層 1 が吸収する放射です。 また、地表からの輻射は全て吸収し、大気層 2 からの輻射も全て吸収します。 そして上下に輻射をしているため、大気層 1 のエネルギー収支は以下のようになります。 \begin{align*} \alpha\left(1-\alpha\right)I_{0}+\Ie+I_{2}=2I_{1} \end{align*}

 大気層 2 は、太陽からの放射のうち \(\alpha\) をかけた分を吸収し、大気層 1 からの輻射は全て吸収します。 地表からの輻射は大気層 1 に全て吸収されるため到達しません。 そして上下に輻射をしているため、大気層 2 のエネルギー収支は次のように書けます。 \begin{align*} \alpha I_{0}+I_{1}=2I_{2} \end{align*}

 これら 3 つの式を連立方程式として解く事で、温度の計算が出来ます。 これらを解き、温度で表現すると \begin{align*} T_{2}^{4}&=T_{0}^{4}\\ T_{1}^{4}&=\left(2-\alpha\right)T_{0}^{4}\\ \Te^{4}&=\left(\alpha^{2}-3\alpha+3\right)T_{0}^{4} \end{align*} となります。 よって、この場合の各大気層と地表の温度は、大気が無い場合の平衡温度を用いて \begin{align*} T_{2}&=T_{0}\\ T_{1}&=\left(2-\alpha\right)^{1/4}T_{0}\\ \Te&=\left(\alpha^{2}-3\alpha+3\right)^{1/4}T_{0} \end{align*} と書くことができます。

より一般的な場合

 次に、地表からの熱輻射と大気層からの熱輻射が宇宙空間に"漏れ出す"ような、より一般的な状況を考えます。 以下のような状況を考えます。

  • 太陽からの放射のうち一定量が大気層に吸収され、残りは透過する
  • 各大気層での太陽放射の吸収率は \(\alpha\) とする
  • 地球からの放射のうち一定量が大気層に吸収され、残りは透過する
  • 大気層からの放射のうち一定量は大気層に吸収され、残りは透過する
  • 大気層による地球放射と大気層からの輻射の吸収率は同じ \(\beta\) とする

 模式図は以下のようになります。

 まず地表のエネルギー収支を考えます。 先ほどまでと同様、2 つの大気層を通過した後に地表に到達する太陽放射は \(\left(1-\alpha\right)^{2}I_{0}\) です。 また、大気層 1 からの輻射は全て吸収します。 さらに、大気層 2 からの輻射は大気層 1 で \(\beta\) 分だけ吸収されるため、地表に届くのは \(\left(1-\beta\right)I_{2}\)となります。 そして輻射をしているため、地表のエネルギー収支は以下のようになります。 \begin{align*} \left(1-\alpha\right)^{2}I_{0}+I_{1}+\left(1-\beta\right)I_{2}=\Ie \end{align*}

 次に大気層 1 を考えます。 こちらも受け取る太陽放射は先ほどと同じです。 地表からの輻射は、\(\beta\) 分だけ受け取って残りは透過します。 同様に、大気層 1 からの輻射も \(\beta\) 分だけ受け取って残りは透過します。 そして上下に輻射をしているため、エネルギー収支は以下のように書けます。 \begin{align*} \alpha\left(1-\alpha\right)I_{0}+\beta\Ie+\beta I_{2}=2I_{1} \end{align*}

 大気層 2 は、太陽からの放射は \(\alpha\) 分だけ受け取ります。 大気層 1 からの輻射は \(\beta\) 分だけ受け取って残りは透過します。 地表からの輻射は、大気層 1 を通過した後の輻射を \(\beta\) 分吸収します。 そして上下に輻射をしているため、エネルギー収支は以下のように書けます。 \begin{align*} \alpha I_{0}+\beta I_{1}+\beta\left(1-\beta\right)\Ie=2I_{2} \end{align*}

 この 3 本の連立方程式を解けば良いことになります。 係数と項が増えているため解を得るには煩雑な計算が必要になりますが、未知の変数が \(I_{1}\)、\(I_{2}\)、\(\Ie\) の 3 つ、方程式が 3 本であるため原理的には解くことができます。 解き方の一例は付録に紹介しています。

これらを解き、温度で表すと \begin{align*} T_{2}^{4}&=\frac{\alpha+\beta-\alpha\beta}{2-\beta}T_{0}^{4}\\ T_{1}^{4}&=\frac{\alpha^{2}\beta-\alpha\beta^{2}-\alpha^{2}+\beta^{2}-\alpha\beta+\alpha+\beta}{2-\beta}T_{0}^{4}\\ \Te^{4}&=\frac{\alpha^{2}-\alpha\beta-2\alpha+\beta+2}{2-\beta}T_{0}^{4} \end{align*} となります。 よって、各大気層の温度は以下のようになります。 \begin{align*} T_{2}&=\left(\frac{\alpha+\beta-\alpha\beta}{2-\beta}\right)^{1/4}T_{0}\\ T_{1}&=\left(\frac{\alpha^{2}\beta-\alpha\beta^{2}-\alpha^{2}+\beta^{2}-\alpha\beta+\alpha+\beta}{2-\beta}\right)^{1/4}T_{0}\\ \Te&=\left(\frac{\alpha^{2}-\alpha\beta-2\alpha+\beta+2}{2-\beta}\right)^{1/4}T_{0} \end{align*} 係数は因数分解した形で書く事も出来ます。

2層大気モデルを用いて大気の温室効果を考慮した場合、大気層と地表の温度は次のように表すことができる。 \begin{align*} T_{2}&=\left(\frac{\alpha+\beta-\alpha\beta}{2-\beta}\right)^{1/4}T_{0}\\ T_{1}&=\left(\frac{\left(\alpha\beta-\alpha-\beta\right)\left(\alpha-\beta-1\right)}{2-\beta}\right)^{1/4}T_{0}\\ \Te&=\left(\frac{\left(\alpha-1\right)\left(\alpha-\beta-1\right)+1}{2-\beta}\right)^{1/4}T_{0} \end{align*} ただし、大気による太陽放射の吸収率を \(\alpha\)、大気による地球からの熱輻射の吸収率を \(\beta\) とし、 \(T_{0}\) は大気が無い場合の平衡温度である。

2 層大気モデルでの表面温度と大気温度

 得られた式について少し考えてみることにします。 (1 層大気モデルと合わせた式の考察についてはこちらのページも参照)

 2 つ置いた大気層の上層、大気層 2 の温度は 1 層大気モデルの場合の大気温度と一定しています。 また、\(\beta=1\) とする、つまり「各大気層では地表からと大気層からの熱輻射は全て吸収する」場合は、「地表・大気の熱輻射を全て吸収する場合」の結果と一致するはずです。 \(\beta=1\) を代入してみると、問題なく一致している事が分かります。

 最大の温室効果がはたらく場合、つまり太陽からの放射は大気に全く吸収されず \(\left(\alpha=0\right)\)、地表と大気層からの輻射は大気層に完全に吸収される \(\left(\beta=1\right)\) という状況を考えると、各大気層と地表の温度は以下のように書けます。 \begin{align*} T_{2}&=T_{0}\\ T_{1}&=2^{1/4}T_{0}\\ \Te&=3^{1/4}T_{0} \end{align*}

 1 層大気モデルでは、温室効果が最大の場合でも、表面温度は平衡温度の \(2^{1/4}\) 倍にしかなりませんでしたが、2 層大気モデルの場合は最大で \(3^{1/4}\) 倍になることが分かります。

 金星の場合、大気が無い場合の平衡温度が 224 K、1 層大気モデルで最大の温室効果を考えた時の表面温度は 267 K でした。 2 層大気モデルで最大の温室効果を考えた場合は、\(3^{1/4}\) 倍の 295 K となります。 これでもやはり実際の金星の表面温度 737 K には遠く及びませんが、大気層を重ねることによって温室効果で実現出来る温度がより高くなることは分かりました。

 層をより多く積み重ねたモデルを考えれば、より多くの大気による温室効果を取り入れることができるため、表面温度はより高くする事が可能だと予想されます。 実際に、金星の大気圧はおよそ 92 気圧あり、地球よりも遥かに多い大気を保持しています。 金星の大気の総質量は \(4.8\times10^{20}\) kg であり、地球大気の総質量 \(5.1\times10^{18}\) kg の 94 倍もあります。

 大気層をさらに増やして 3 層にした場合、同様に考えると未知変数は \(I_{3}\) - \(\Ie\) の 4 つ、エネルギー収支の方程式は 4 本になるため、原理的には解く事が出来ます。 さらに層を増やしても同じ事が言えます。 しかし計算量が膨大になる上に、労力に見合うだけのメリットは無い事が予想されます。 またこれまでの計算では、吸収率 \(\alpha\) と \(\beta\) は同一にしていますが、大気層が複数ある場合は各大気層で異なると考えるのが自然です。 特に大気層を何枚も重ねて温度差が大きくなる時は、この影響は顕著になると考えられます。

 現実の計算では、いくつもの大気層を重ねる代わりに微分方程式を立てて解く方法や、実際に大気内の輻射輸送を解いて大気構造を決定するという方法が用いられることになります。

 参考として、最大の温室効果を考えた時の表面温度は、1 層の場合は平衡温度の \(2^{1/4}\) 倍、2 層の場合は \(3^{1/4}\) 倍という結果になることから、\(N\) 層の場合は \(\left(N+1\right)^{1/4}\) 倍になると推測出来ます。 実際に 3 層の大気層を置き、\(\alpha=0\)、\(\beta=1\) の最もシンプルな場合を考えると、表面温度は平衡温度の \(4^{1/4}\) 倍となる事は簡単に確かめられます。

 ここから、金星の地表温度 737 K を実現するためには、116 枚の層が必要ということになります。 ただし、これはあくまで複数の大気層を置き、\(\alpha=0\)、\(\beta=1\) という極限での概算なので、現実の状況とは異なります。

 実際には金星表面に到達するまでに太陽光はかなり吸収されてしまい、金星表面では地球の曇の日程度の明るさしかないということが探査機による観測で判明しています (旧ソ連、ベネラ8号による測定)。 そのため、太陽放射の吸収も、地表や大気からの放射の吸収も、それぞれちゃんと扱ってやる必要があることになります。










[付録] 連立方程式の解法

 3 元連立方程式を行列を用いて解きます。 解くべき方程式を整理すると \begin{align*} I_{1}+\left(1-\beta\right)I_{2}-\Ie &= -\left(1-\alpha\right)^{2}I_{0}\\ -2I_{1}+\beta I_{2}+\beta \Ie &= -\alpha\left(1-\alpha\right)I_{0}\\ \beta I_{1}-2I_{2}+\beta\left(1-\beta\right)\Ie &= -\alpha I_{0} \end{align*} となるので、行列の形にすると \begin{align*} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1-\beta & -1 \\ -2 & \beta & \beta \\ \beta & -2 & \beta\left(1-\beta\right) \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} I_{1} \\ I_{2} \\ \Ie \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -\left(1-\alpha\right)^{2}I_{0} \\ -\alpha\left(1-\alpha\right)I_{0} \\ -\alpha I_{0} \end{array} \right) \end{align*} となります。

 2 行目 + 1 行目 × 2、3 行目 - 1 行目 × \(\beta\) という操作を行うと、 \begin{align*} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1-\beta & -1 \\ 0 & 2-\beta & -2+\beta \\ 0 & \beta^{2}-\beta-2 & -\beta^{2}+2\beta \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} I_{1} \\ I_{2} \\ \Ie \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -\left(1-\alpha\right)^{2}I_{0} \\ \left(-\alpha^{2}+3\alpha-2\right)I_{0} \\ \left[-\alpha+\beta\left(1-\alpha\right)^{2}\right] I_{0} \end{array} \right) \end{align*}

 2 行目を \(\left(2-\beta\right)\) で割ると、 \begin{align*} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1-\beta & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & \beta^{2}-\beta-2 & -\beta^{2}+2\beta \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} I_{1} \\ I_{2} \\ \Ie \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -\left(1-\alpha\right)^{2}I_{0} \\ \frac{-\alpha^{2}+3\alpha-2}{2-\beta}I_{0} \\ \left[-\alpha+\beta\left(1-\alpha\right)^{2}\right] I_{0} \end{array} \right) \end{align*}

 3 行目 - 2 行目 × \(\left(\beta^{2}-\beta-2\right)\) という操作をすると \begin{align*} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1-\beta & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & \beta-2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} I_{1} \\ I_{2} \\ \Ie \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -\left(1-\alpha\right)^{2}I_{0} \\ \frac{-\alpha^{2}+3\alpha-2}{2-\beta}I_{0} \\ \left(-\alpha^{2}+\alpha\beta+2\alpha-\beta-2\right)I_{0} \end{array} \right) \end{align*} となり、上三角行列の形に変形出来ました。

 行列の 3 行目から即座に \(\Ie\) が求められ、 \begin{align*} \Ie=\frac{\alpha^{2}-\alpha\beta-2\alpha+\beta+2}{2-\beta}I_{0} \end{align*} となります。 また行列の 2 行目からは \begin{align*} I_{2}-\Ie=-\frac{\alpha^{2}+3\alpha-2}{2-\beta}I_{0} \end{align*} が得られるので、\(\Ie\) を代入すれば \begin{align*} I_{2}=\frac{\alpha+\beta-\alpha\beta}{2-\beta}I_{0} \end{align*} が得られます。 行列の 1 行目からは \begin{align*} I_{1}+\left(1-\beta\right)I_{2}-\Ie=-\left(1-\alpha\right)^{2}I_{0} \end{align*} が得られるため、\(\Ie\)、\(I_{2}\) を代入して整理すれば \begin{align*} I_{1}=\frac{\alpha^{2}\beta-\alpha\beta^{2}-\alpha^{2}+\beta^{2}-\alpha\beta+\alpha+\beta}{2-\beta}I_{0} \end{align*} となり、解が得られました。

 行列を用いた連立方程式の解法は、大学の線形代数学で学ぶことが出来ます。 詳細は、線形代数学 (線型代数学) の教科書や、それらについて解説しているサイト等を参考にしてください。





参考文献

惑星などの天体に関する物理量

2017年06月05日 更新
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