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　天体の構造を記述する際は、自己重力流体の振る舞いを調べる必要がある場合があります。 例えば恒星も自己重力流体から成る形状のひとつです。 恒星などの球形に近い構造の場合は、球対称だと考えて流体の連続の式や運動方程式を解くことで、密度分布を表す方程式を導出することが出来ます。 これは、状態方程式にポリトロープ関係を仮定した場合はレーン=エムデン方程式として知られているものであり、ポリトロープ球とレーン=エムデン方程式のページで紹介したものです。

　ここでは、球対称ではなく、軸対称の円柱状の形状をした自己重力流体の平衡形状について紹介します。 恒星などの天体は円柱状ではありませんが、恒星などを形成する元になっている分子雲では、フィラメント構造と呼ばれる円柱状の構造が存在することが知られています。

目次：

• 円柱状自己重力流体の平衡形状の導出
  • 基礎方程式
  • 変数変換 1
  • 変数変換 2
  • 積分 1
  • 変数変換 3
  • 積分 2
  • 密度分布の導出
  • 線密度の計算
• 付録
  • 積分計算その 1
  • 積分計算その 2

関連ページ：

• ポリトロープ球とレーン=エムデン方程式
• レーン=エムデン方程式の解析解

円柱状自己重力流体の平衡形状の導出

基礎方程式

　重力と圧力勾配力が釣り合っている静水圧平衡状態を考えます。 静水圧状態の式は、

$$\begin{align} \nabla\Phi = -\frac{1}{\rho}\nabla p \label{hseq} \end{align}$$ と書けます。 ここで $\Phi$ は重力ポテンシャル、$\rho$ は流体の密度、$p$ は流体のガス圧です。 ここでは円筒座標 $\left(r,\,\phi,\,z\right)$ を考えますが、今回は一様で軸対称の構造を仮定します。 つまり、円筒の長さ方向 ($z$ 方向) に一様で無限に長く、軸の周りの回転 ($\phi$ 方向) に対して対称であるとします。 そのため、密度や圧力などは、円柱の半径方向 ($r$ 方向) のみの関数になります。

　また、重力ポテンシャルと流体の密度分布は、以下のポアソン方程式で表されます。

$$\begin{align} \nabla^{2}\Phi = 4\pi G\rho \label{poisson} \end{align}$$ $G$ は重力定数 (万有引力定数) です。

　さらに、流体が等温の理想気体であると仮定します。 この場合、状態方程式は次のように書けます。

$$\begin{align} p = \frac{k_{\rm B}T}{\mu m}\rho \equiv K\rho \label{eos} \end{align}$$ ここで、$k_{\rm B}$ はボルツマン定数、$T$ は温度、$\mu$ は平均分子量、$m$ は陽子の質量です。 なお、ここで等温音速を $\cs$ を置くと $$\begin{align} \cs^{2} = \frac{k_{\rm B}T}{\mu m} \label{kcs} \end{align}$$ であるため、式 $\eqref{eos}$ は $$\begin{align*} p=\cs^{2}\rho \end{align*}$$ と書けます。

　ここで、式 $\eqref{hseq}$ と $\eqref{eos}$ から $p$ を消去すると、

$$\begin{align*} \nabla\Phi= -\frac{1}{\rho}\nabla K\rho = -\nabla K\ln\rho \end{align*}$$ が得られます。 この式の両辺の発散をとる (両辺に $\nabla$ をかける) と、 $$\begin{align*} \nabla^{2}\Phi = -\nabla^{2}K\ln\rho \end{align*}$$ となります。 これに式 $\eqref{poisson}$ を用いて $\Phi$ を消去すると、 $$\begin{align*} -\nabla^{2}K\ln\rho = 4\pi G\rho \end{align*}$$ となります。

　従って、解くべき方程式は

$$\begin{align} K\nabla^{2}\ln\rho = -4\pi G\rho \label{eq} \end{align}$$ であることが分かります。

変数変換 1

　まずは以下のような変数変換を行います。

$$\begin{align} r&\equiv\alpha\xi \label{xi}\\ \rho&\equiv\rho_{0}e^{-\psi} \label{psi} \end{align}$$

ここで、$\xi$ は無次元化された半径で、$\rho_{0}$ は $r=0$ での密度です。 また、$\alpha$ は以下のように定義します。 $$\begin{align} \alpha \equiv \left(\frac{K}{4\pi G\rho_{0}}\right)^{1/2} \label{alpha} \end{align}$$

　これらの関係式を用いて、式 $\eqref{eq}$ を $\xi$ と $\psi$ の式に直していきます。 式 $\eqref{psi}$ を用いると、式 $\eqref{eq}$ の左辺は

$$\begin{align*} K\nabla^{2}\ln\rho &= K\nabla^{2}\ln\left(\rho_{0}e^{-\psi}\right) \\ &= K\nabla^{2}\left(\ln\rho_{0}+\ln e^{-\psi}\right)\\ &=K\nabla^{2}\left(\ln\rho_{0}-\psi\right)\\ &=-K\nabla^{2}\psi \end{align*}$$ となります。 $\rho_{0}$ は定数なので、ラプラシアン $\left(\Delta=\nabla^{2}\right)$ を作用させると消えてしまいます。 よって、式 $\eqref{eq}$ は $$\begin{align*} K\nabla^{2}\psi = 4\pi G\rho_{0}e^{-\psi} \end{align*}$$ となります。 ここで式 $\eqref{alpha}$ を用いることで、この式は以下のように書き直すことが出来ます。 $$\begin{align} \alpha^{2}\nabla^{2}\psi = e^{-\psi} \label{eq2} \end{align}$$

　ここで、軸対称の円筒座標系であることを考えると、微分演算子は

$$\begin{align*} \nabla^{2} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{d}{dr}\right) \end{align*}$$ となります。 また、式 $\eqref{xi}$ から、 $$\begin{align*} dr=\alpha d\xi \end{align*}$$ であることが分かるため、 $$\begin{align*} \frac{d\xi}{dr}=\frac{1}{\alpha} \end{align*}$$ となることが分かります。 そのため、微分演算子には $$\begin{align*} \frac{d}{dr} = \frac{d}{d\xi}\frac{d\xi}{dr} = \frac{1}{\alpha}\frac{d}{d\xi} \end{align*}$$ という関係があることも分かります。

　これらの関係を用いると、

$$\begin{align*} \nabla^{2}\psi & = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{d}{dr}\psi\right)\\ & = \frac{1}{\alpha\xi}\frac{1}{\alpha}\frac{d}{d\xi}\left(\alpha\xi\frac{1}{\alpha}\frac{d}{d\xi}\psi\right)\\ & = \frac{1}{\alpha^{2}\xi}\frac{d}{d\xi}\left(\xi\frac{d\psi}{d\xi}\right)\\ & = \frac{1}{\alpha^{2}\xi}\left(\frac{d\psi}{d\xi}+\xi\frac{d^{2}\psi}{d\xi^{2}}\right)\\ & = \frac{1}{\alpha^{2}}\left(\frac{1}{\xi}\psi'+\psi''\right) \end{align*}$$ と変形できます。 なお、$\xi$ の 1 階微分を $^\prime$、2 階微分を$^{\prime\prime}$ を付けて表しています。 これを用いると、式 $\eqref{eq2}$ は以下のようになります。 $$\begin{align} \psi'' + \frac{1}{\xi}\psi' = e^{-\psi} \label{psieq} \end{align}$$

　式 $\eqref{xi}$ より、$r=0$ のときは $\xi=0$ となります。 また式 $\eqref{psi}$ で $r=0$ の時に $\rho=\rho_{0}$ であるためには、$r=0$ すなわち $\xi=0$ のときに $\psi=0$ である必要があります。 さらに、式 $\eqref{psieq}$ は

$$\begin{align*} \xi\psi'' + \psi' = \xi e^{-\psi} \end{align*}$$ と書け、$\xi=0$ のときは $$\begin{align*} 0 + \psi' = 0 \end{align*}$$ となるため $\psi'=0$ を満たす必要があります。

　従ってこれらの条件より、式 $\eqref{psieq}$ の境界条件は、$\xi=0$ において $\psi=\psi'=0$ というものになります。

変数変換 2

　式 $\eqref{psieq}$ を解くため、ここからさらに以下のような変数変換を行います。

$$\begin{align} z &\equiv -\psi +2\ln\xi \label{z} \\ t &\equiv \sqrt{2}\ln\xi \label{t} \end{align}$$

　式 $\eqref{t}$ より、$dt = \sqrt{2}\displaystyle{\frac{d\xi}{\xi}}$ となるため、 $\displaystyle{\frac{dt}{d\xi} = \frac{\sqrt{2}}{\xi}}$ となることが分かります。 また、$\ln\xi=\displaystyle{\frac{t}{\sqrt{2}}}$ であるため、 $\displaystyle{\xi=e^{t/\sqrt{2}}}$ となります。 これらの関係式から、

$$\begin{align*} \frac{dt}{d\xi} = \sqrt{2}\expt \end{align*}$$ であることが分かります。

　従って、微分演算子の変換は以下のようになります。

$$\begin{align*} \frac{d}{d\xi}=\frac{d}{dt}\frac{dt}{d\xi}=\sqrt{2}\expt\frac{d}{dt} \end{align*}$$ これらを用いて、式 $\eqref{psieq}$ を変形します。

　まず $\psi'$ を計算すると、以下のようになります。

$$\begin{align*} \psi'=\frac{d\psi}{d\xi} &= \sqrt{2}\expt\frac{d}{dt}\left(-z+2\ln\xi\right)\\ &= \sqrt{2}\expt\frac{d}{dt}\left(-z+\frac{t}{\sqrt{2}}\right)\\ &= \sqrt{2}\expt\left(-\frac{dz}{dt}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \end{align*}$$ 従って、 $$\begin{align*} \frac{1}{\xi}\psi'&=\expt\sqrt{2}\expt\left(-\frac{dz}{dt}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\\ &=\exprt\left(-\sqrt{2}\frac{dz}{dt}+1\right) \end{align*}$$ となります。 さらに、$\psi''$ は $$\begin{align*} \psi''=\frac{d}{d\xi}\psi'&=\sqrt{2}\expt\frac{d}{dt}\left\{\sqrt{2}\expt\left(-\frac{dz}{dt}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right\}\\ &= \sqrt{2}\expt\left\{-\expt\left(-\frac{dz}{dt}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-\sqrt{2}\expt\frac{d^{2}z}{dt^{2}}\right\}\\ &= \exprt\left(\sqrt{2}\frac{dz}{dt}-1-2\frac{d^{2}z}{dt^{2}}\right) \end{align*}$$ となります。 また、$e^{-\psi}$ は、 $$\begin{align*} e^{-\psi}=e^{z-2\ln\xi}=e^{z}e^{-2\ln\xi}=e^{z}\exprt \end{align*}$$ となります。 これらを全て代入して整理すると、 $$\begin{align} 2\frac{d^{2}z}{dt^{2}}+e^{z}=0 \label{zeq} \end{align}$$ が得られます。

積分 1

　次に、式 $\eqref{zeq}$ を積分します。 $e^{z}$ の項を右辺に移した

$$\begin{align*} 2\frac{d^{2}z}{dt^{2}} = -e^{z} \end{align*}$$ を考えます。 両辺に $\displaystyle{\frac{dz}{dt}}$ をかけると $$\begin{align*} 2\frac{dz}{dt}\frac{d^{2}z}{dt^{2}} = -\frac{dz}{dt}e^{z} \end{align*}$$ となります。 この式の両辺を積分すると、 $$\begin{align*} \left(\frac{dz}{dt}\right)^{2}=-e^{z}+C \end{align*}$$ となります。 ここで $C$ は積分定数です。 そのため、$\displaystyle{\frac{dz}{dt}}$ についての以下の式が得られます。 $$\begin{align} \frac{dz}{dt} = \pm\left(C-e^{z}\right)^{1/2} \label{zinteg} \end{align}$$

　ここで、境界条件を用いて積分定数を決定します。 $\displaystyle{\frac{dz}{dt}}$ を $\xi$ および $\psi$ で表すと、以下のようになります。

$$\begin{align*} \frac{dz}{dt}=\frac{dz}{d\xi}\frac{d\xi}{dt}&=\frac{1}{\sqrt{2}}e^{t/\sqrt{2}}\frac{d}{d\xi}\left(-\psi+2\ln\xi\right)\\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\xi\left(-\psi'+\frac{2}{\xi}\right)\\ &= -\frac{1}{\sqrt{2}}\xi\psi'+\sqrt{2} \end{align*}$$ 従って、$r=0$、つまり $\xi=0$ のときは、 $$\begin{align*} \left.\frac{dz}{dt}\right|_{\xi=0}=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\xi\psi'+\sqrt{2}\right)_{\xi=0}=\sqrt{2} \end{align*}$$ となります。

　同様に、

$$\begin{align*} e^{z}=e^{-\psi+2\ln\xi}=e^{-\psi}e^{\ln\xi^{2}}=\xi^{2}e^{-\psi} \end{align*}$$ より、 $$\begin{align*} \left.e^{z}\right|_{\xi=0}=\left(\xi^{2}e^{-\psi}\right)_{\xi=0}=0 \end{align*}$$ となります。 従って、$\xi=0$ で式 $\eqref{zinteg}$ は、 $$\begin{align*} \sqrt{2}=\pm\left(C-0\right)^{1/2} \end{align*}$$ となるため、積分定数は $$\begin{align*} C=2 \end{align*}$$ である必要があることがわかります。 そのため、式 $\eqref{zinteg}$ は $$\begin{align} \frac{dz}{dt}=\pm\left(2-e^{z}\right)^{1/2} \label{dzdt} \end{align}$$ となります。

変数変換 3

　式 $\eqref{dzdt}$ を解くため、さらに変数変換を行います。

$$\begin{align} z\equiv\ln y \label{y} \end{align}$$

　式 $\eqref{y}$ より、$\displaystyle{\frac{dz}{dt}=\frac{1}{y}\frac{dy}{dt}}$ となることが分かります。 また、$\displaystyle{e^{z}=e^{\ln y}=y}$ という関係があります。 これらを用いると、式 $\eqref{dzdt}$ は

$$\begin{align*} \frac{1}{y}\frac{dy}{dt}=\pm\left(2-y\right)^{1/2} \end{align*}$$ となります。 これは変数分離形で以下のように書き直す事ができます。 $$\begin{align} \frac{dy}{y\left(2-y\right)^{1/2}}=\pm dt \label{yinteg0} \end{align}$$

積分 2

　式 $\eqref{yinteg0}$ の両辺を積分すると、

$$\begin{align} \int\frac{dy}{y\left(2-y\right)^{1/2}}=\pm\int dt \label{yinteg} \end{align}$$ となります。

　式 $\eqref{yinteg}$ の左辺は複雑な形をしており、積分を行うのが難しいです。 しかしこの形は、以下のように積分できることが知られています。

$$\begin{align*} \int\frac{dx}{x\left(2-x\right)^{1/2}}=-\sqrt{2}\tanh^{-1}\left(\sqrt{1-\frac{x}{2}}\right)+{\rm const.} \end{align*}$$ ここで $\tanh^{-1}$ は双曲線関数の一つ $\tanh$ の逆関数であり、以下のような形をしています。 $$\begin{align*} \tanh^{-1}\theta=\frac{1}{2}\ln\abs{\frac{1+\theta}{1-\theta}} \end{align*}$$ この積分は こちらで紹介しています。 そのため、式 $\eqref{yinteg}$ の左辺は、以下のように積分できます。 $$\begin{align*} \int\frac{dy}{y\left(2-y\right)^{1/2}} &= -\sqrt{2}\tanh^{-1}\left(\sqrt{1-\frac{y}{2}}\right)\\ &= -\sqrt{2}\frac{1}{2}\ln\abs{\frac{1+\sqrt{1-\frac{y}{2}}}{1-\sqrt{1-\frac{y}{2}}}}\\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\ln\abs{\frac{1-\sqrt{1-\frac{y}{2}}}{1+\sqrt{1-\frac{y}{2}}}}\\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\ln\abs{\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2-y}}{\sqrt{2}+\sqrt{2-y}}} \end{align*}$$ なお、積分定数は左辺に全て押し付けることができるため、ここでは省略しています。

　これを使って式 $\eqref{yinteg}$ の積分を実行すると、

$$\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{2}}\ln\abs{\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2-y}}{\sqrt{2}+\sqrt{2-y}}}=\pm\left(t+C_{0}\right) \end{align*}$$ となります。 $C_{0}$ は積分定数です。 ここで、式 $\eqref{t}$ の形を参考にして、計算の便宜のため積分定数を $C_{0}=\sqrt{2}\ln C_{2}$ と置き換えます。 また、両辺に $\sqrt{2}$ をかけておきます。 $$\begin{align} \ln\abs{\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2-y}}{\sqrt{2}+\sqrt{2-y}}}=\pm\left(\sqrt{2}t+2\ln C_{2}\right) \label{yinteg2} \end{align}$$

　式 $\eqref{yinteg2}$ の右辺を $\xi$ の式に書き直すと、以下のようになります。

$$\begin{align*} \pm\left(\sqrt{2}t+2\ln C_{2}\right) &= \pm\left(2\ln\xi+2\ln C_{2}\right)\\ &= \pm2\ln C_{2}\xi\\ &= \ln\left(C_{2}\xi\right)^{\pm2} \end{align*}$$ 従って式 $\eqref{yinteg2}$ は $$\begin{align*} \ln\abs{\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2-y}}{\sqrt{2}+\sqrt{2-y}}} = \ln\left(C_{2}\xi\right)^{\pm2} \end{align*}$$ となるため、 $$\begin{align*} \frac{\sqrt{2}-\sqrt{2-y}}{\sqrt{2}+\sqrt{2-y}} = \left(C_{2}\xi\right)^{\pm2} \end{align*}$$ が得られます。 この式をまず $\sqrt{2-y}$ について解くと、 $$\begin{align*} \sqrt{2-y} = \sqrt{2}\frac{1-\left(C_{2}\xi\right)^{\pm2}}{1+\left(C_{2}\xi\right)^{\pm2}} \end{align*}$$ が得られるため、両辺を 2 乗して $y$ について解くと、 $$\begin{align*} y=2\left[1-\left\{\frac{1-\left(C_{2}\xi\right)^{\pm2}}{1+\left(C_{2}\xi\right)^{\pm2}}\right\}^{2}\right] \end{align*}$$ となります。

　また、

$$\begin{align*} y=e^{z}=e^{-\psi+2\ln\xi}=e^{-\psi}e^{\ln\xi^{2}}=\xi^{2}e^{-\psi} \end{align*}$$ であることから、最終的に $$\begin{align*} e^{-\psi}=\frac{2}{\xi^{2}}\left[1-\left\{\frac{1-\left(C_{2}\xi\right)^{\pm2}}{1+\left(C_{2}\xi\right)^{\pm2}}\right\}^{2}\right] \end{align*}$$ を得ます。 これでようやく $\xi$ と $\psi$ の式にまで戻ってきました。 ここで、符号は正の方のみを採用しても一般性を失わないため、 $$\begin{align} e^{-\psi}=\frac{2}{\xi^{2}}\left[1-\left\{\frac{1-\left(C_{2}\xi\right)^{2}}{1+\left(C_{2}\xi\right)^{2}}\right\}^{2}\right] \label{exppsi} \end{align}$$ こちらを使うことにします。

　式 $\eqref{exppsi}$ の左辺を展開してまとめると、

$$\begin{align} e^{-\psi} = \frac{8C_{2}^{2}}{\left(1+C_{2}^{2}\xi^{2}\right)^{2}} \label{exppsi2} \end{align}$$ となります。 ここで境界条件から積分定数を決定します。 $\xi=0$ で $\psi=0$ となるため、$e^{-\psi}=1$ となります。 そのため、式 $\eqref{exppsi2}$ は $$\begin{align*} 1=8C_{2}^{2} \end{align*}$$ となるため、積分定数は $$\begin{align*} C_{2}=\frac{1}{\sqrt{8}} \end{align*}$$ となります。

　従って式 $\eqref{exppsi}$ は

$$\begin{align*} e^{-\psi}=\left(1+\frac{1}{8}\xi^{2}\right)^{-2} \end{align*}$$ となり、両辺の対数をとると $$\begin{align*} -\psi&=\ln\left(1+\frac{1}{8}\xi^{2}\right)^{-2} \\ &= -2\ln\left(1+\frac{1}{8}\xi^{2}\right) \end{align*}$$ となり、最終的に $$\begin{align} \psi = 2\ln\left(1+\frac{1}{8}\xi^{2}\right) \label{psisol} \end{align}$$ が得られます。

密度分布の導出

　最後に、変数を元に戻します。 式 $\eqref{psi}$ より、

$$\begin{align*} \psi=-\ln\frac{\rho}{\rho_{0}} \end{align*}$$ であることが分かります。 これを式 $\eqref{psisol}$ に代入することで、 $$\begin{align*} \ln\frac{\rho}{\rho_{0}} = \ln\left(1+\frac{1}{8}\xi^{2}\right)^{-2} \end{align*}$$ が得られるため、 $$\begin{align} \rho=\rho_{0}\frac{1}{\left(1+\frac{1}{8}\xi^{2}\right)^{2}} \label{rhoxi} \end{align}$$ となります。

　また、式 $\eqref{xi}$ と $\eqref{alpha}$ より、

$$\begin{align*} \xi^{2}=\frac{1}{\alpha^{2}}r^{2}=\frac{4\pi G\rho_{0}}{K}r^{2} \end{align*}$$ となります。 ここで式 $\eqref{kcs}$ より $K$ を $\cs^{2}$ に置き換え、さらに $$\begin{align} H_{0}^{2}\equiv\frac{2\cs^{2}}{\pi G\rho_{0}} \label{h0} \end{align}$$ と置くと、 $$\begin{align*} \frac{1}{8}\xi^{2}=\frac{\pi G\rho_{0}}{2\cs^{2}}r^{2}=\frac{r^{2}}{H_{0}^{2}} \end{align*}$$ となります。

　これを式 $\eqref{rhoxi}$ に代入して整理すると、以下の式が得られます。

$$\begin{align} \rho\!\left(r\right)=\rho_{0}\left[1+\left(\frac{r}{H_{0}}\right)^{2}\right]^{-2} \label{cylinder} \end{align}$$

　無限に長い円柱状の自己重力流体の平衡形状は、以下のような密度分布で与えられる。 $$\begin{align*} \rho\!\left(r\right)=\rho_{0}\left[1+\left(\frac{r}{H_{0}}\right)^{2}\right]^{-2} \end{align*}$$ ただし $H_{0}$ はスケールハイト $$\begin{align*} H_{0}=\left(\frac{2}{\pi G\rho_{0}}\right)^{1/2}\cs \end{align*}$$ である。

線密度の計算

　式 $\eqref{cylinder}$ で計算した密度分布を元に、線密度 (line density) を計算します。 これは、線や円柱などの細長い物体の、単位長さあたりの質量を意味します。 密度にもいろいろな種類がありますが、一般に密度と言った場合は体積密度 (volume density) を意味することが多く、単位は SI であれば ${\rm kg\,m^{-3}}$ です。 これは単位体積あたりの質量を意味します。 その他には、単位面積あたりの質量である表面密度 (surface density) があり、こちらの単位は ${\rm kg\,m^{-2}}$ になります。 表面密度は面密度と言われることもあります。 今回求める線密度は、単位は ${\rm kg\,m^{-1}}$ になります。

　線密度 $\ML$ は、以下のように計算します。

$$\begin{align*} \ML=\int_{0}^{\infty}2\pi r\rho\!\left(r\right)dr \end{align*}$$ これに式 $\eqref{cylinder}$ を代入すると、 $$\begin{align} \ML=2\pi\rho_{0}\int_{0}^{\infty}\frac{r\,dr}{\left[1+\left(\frac{r}{H_{0}}\right)^{2}\right]^{2}} \label{mlinteg} \end{align}$$ となります。

　この積分も複雑な形をしていますが、この形の関数は以下のように積分できます。

$$\begin{align*} \int\frac{x\,dx}{\left(1+ax^{2}\right)^{2}}=-\frac{1}{2a^{2}x^{2}+2a}+{\rm const.} \end{align*}$$ この積分は こちらで紹介しています。 従って、式 $\eqref{mlinteg}$ の積分部分は、$a$ を $1/H_{0}^{2}$ に置き換えて整理すると、 $$\begin{align*} \int\frac{r\,dr}{\left[1+\left(\frac{r}{H_{0}}\right)^{2}\right]^{2}} = -\frac{H_{0}^{4}}{2\left(H_{0}^{2}+r^{2}\right)}+\rm{const.} \end{align*}$$ となります。

　0 から $\infty$ までの積分なので、まず 0 から $r'$ までの定積分を求めた後に $r'\rightarrow\infty$ とします。 0 から $r'$ までの定積分は、

$$\begin{align*} \int_{0}^{r'}\frac{r\,dr}{\left[1+\left(\frac{r}{H_{0}}\right)^{2}\right]^{2}} &= \left[-\frac{H_{0}^{4}}{2\left(H_{0}^{2}+r^{2}\right)}\right]_{0}^{r'}\\ &= -\frac{H_{0}^{4}}{2\left(H_{0}^{2}+r'^{2}\right)}+\frac{H_{0}^{4}}{2H_{0}^{2}}\\ &=\frac{1}{2}\left(\frac{H_{0}^{2}}{1+H_{0}^{2}r'^{-2}}\right) \end{align*}$$ となり、さらに $r'\rightarrow\infty$ とすると、 $$\begin{align*} \lim_{r'\rightarrow\infty'}\frac{1}{2}\left(\frac{H_{0}^{2}}{1+H_{0}^{2}r'^{-2}}\right)=\frac{1}{2}H_{0}^{2} \end{align*}$$ となります。 従って、式 $\eqref{mlinteg}$ は $$\begin{align} \ML=2\pi\rho_{0}\int_{0}^{\infty}\frac{r\,dr}{\left[1+\left(\frac{r}{H_{0}}\right)^{2}\right]^{2}}=\pi\rho_{0}H_{0}^{2} \label{lm} \end{align}$$ となります。 これが、平衡状態にある円柱状の自己重力流体の線密度です。

　式 $\eqref{lm}$ を見ると、

$$\begin{align*} \ML=\rho_{0}\cdot\pi H_{0}^{2} \end{align*}$$ という形になっていることが分かります。 そのため、$H_{0}$ は円柱の実効的な半径であるという事が出来ます。 また、式 $\eqref{h0}$ を用いると、線密度は $$\begin{align*} \ML=\frac{2\cs^{2}}{G} \end{align*}$$ という形で書き表すことが出来ることが分かります。 そのため、線密度は円柱の中心 $r=0$ での密度 $\rho_{0}$ に依存しない形で書くことが出来ます。

付録

積分計算その 1

　途中で、

$$\begin{align*} \int\frac{dx}{x\left(2-x\right)^{1/2}}=-\sqrt{2}\tanh^{-1}\left(\sqrt{1-\frac{x}{2}}\right)+{\rm const.} \end{align*}$$ という積分計算が出てきました。 これは、以下のように変数変換を行うことで計算することが出来ます。

　まず、以下のように変形します。

$$\begin{align} \int\frac{dx}{x\sqrt{2-x}}=\int\frac{dx}{\sqrt{2}x\sqrt{1-\frac{x}{2}}} \label{A1} \tag{A1} \end{align}$$ ここで、 $$\begin{align} t=\sqrt{1-\frac{x}{2}} \label{A2} \tag{A2} \end{align}$$ と置きます。 この変換より、 $$\begin{align*} dt=\frac{1}{2}\left(1-\frac{x}{2}\right)^{-1/2}\left(-\frac{1}{2}\right)dx=-\frac{1}{4}\frac{dx}{t} \end{align*}$$ となるため、 $$\begin{align*} dx=-4t\,dt \end{align*}$$ が得られます。 これらを用いると、式 $\eqref{A1}$ は以下のように変形できます。 $$\begin{align} \int\frac{dx}{\sqrt{2}x\sqrt{1-\frac{x}{2}}}=-\sqrt{2}\int\frac{dt}{1-t^{2}} \label{A3} \tag{A3} \end{align}$$

　この積分は、

$$\begin{align*} \int\frac{dt}{1-t^{2}} &= \int\frac{dt}{\left(1+t\right)\left(1-t\right)}\\ &= \frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)dt\\ &= \frac{1}{2}\left(\ln\abs{1+t}-\ln\abs{1-t}\right) + \rm{const.}\\ &= \frac{1}{2}\ln\frac{1+t}{1-t} + \rm{const.}\\ &= \tanh^{-1}t + \rm{const.} \end{align*}$$ と計算できます。

　これを式 $\eqref{A3}$ に代入し、さらに式 $\eqref{A2}$ を用いて変数を元に戻すと、

$$\begin{align*} \int\frac{dx}{x\left(2-x\right)^{1/2}}=-\sqrt{2}\tanh^{-1}\left(\sqrt{1-\frac{x}{2}}\right)+{\rm const.} \end{align*}$$ が得られます。

積分計算その 2

　もう一つの積分計算、

$$\begin{align*} \int\frac{x\,dx}{\left(1+ax^{2}\right)^{2}}=-\frac{1}{2a^{2}x^{2}+2a}+{\rm const.} \label{B1} \tag{B1} \end{align*}$$ についても紹介します。

　ここでは

$$\begin{align*} t=1+ax^{2} \end{align*}$$ という変換を行います。 この式より、 $$\begin{align*} dx=\frac{1}{2ax}dt \end{align*}$$ となることが分かります。 これを用いると、積分は $$\begin{align*} \int\frac{x\,dx}{\left(1+ax^{2}\right)^{2}} &= \frac{1}{2a}\int\frac{dt}{t^{2}}\\ &= -\frac{1}{2a}\frac{1}{t}+\rm{const.}\\ &= -\frac{1}{2a}\frac{1}{1+ax^{2}}+\rm{const.} \end{align*}$$ と計算できます。 従って、式 $\eqref{B1}$ が得られます。

参考文献

Ostriker et al.(1964) "The Equilibrium of Polytropic and Isothermal Cylinders.", ApJ
観山正見・野本憲一・二間瀬敏史編「天体物理学の基礎I」(日本評論社)

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2018年07月12日