見かけの等級とは

　見かけの等級 (apparent magnitude)とは、文字の通り地球から見た時の天体の見かけの明るさを示す指標です。 本来は同じ明るさの天体であっても、近距離にあるものの見かけの明るさは明るく、遠方にあるものは暗く見えます。 また近距離であっても非常に暗い天体や、遠距離でも非常に明るい場合は、遠距離にある天体の方が明るく見える事があります。 このような、見かけの明るさの指標となるのが見かけの等級です。

　現在では天体の明るさは定量的な評価が可能になっていますが、昔は目で見た時の明るさの違いという大まかな違いでの評価しか出来ませんでした。 そこで、夜空に見える恒星のうち最も明るいものを1等星、肉眼で観測出来る最も暗いものを6等星とし、1〜6の6段階で分類されるようになりました。 この分類方法を考案したのは古代ギリシアの天文学者であったヒッパルコスで、まだ紀元前のことです。

　その後16世紀になって望遠鏡が開発されると、肉眼では見えない恒星も発見出来るようになり、より暗い恒星には7等星、8等星といった等級が与えられるようになりましたが、この段階では統一された基準は設けられていませんでした。 また、等級の値も整数のみで与えられるものでした。

　現在まで使われている等級の定義を決定したのは、イギリスの天文学者のノーマン・ロバート・ポグソン (Norman Robert Pogson)です。 ポグソンが等級の定義を決めるより前に、同じくイギリスの天文学者であるジョン・ハーシェルによって、1等星の明るさが6等星の明るさのおよそ 100倍であることが示されていました。 (なおジョン・ハーシェルは、天王星とその衛星の発見や望遠鏡製作等で多数の業績を持つ天文学者、ウィリアム・ハーシェルの息子です。) ポグソンはジョン・ハーシェルの研究結果を元にし、1等星の明るさは6等星の 100倍であり、1等級ごとの明るさの違いは 100^1/5倍であると定義しました。 これは 1856年のことです。 100^1/5 = 2.511886432... となるため、1等級ごとの違いはおよそ 2.512倍に相当するということになります。

　ポグソンが等級の定義を定めた事で、天体の見かけの明るさから等級を計算出来るようになりました。 ここでは、等級はどのように決まるか見て行きます。

　ポグソンの定義では、等級が1異なるごとに明るさは 100^1/5倍異なるのでした。 等級が2異なると、明るさは(100^1/5)²倍、すなわち 100^2/5倍異なります。 同様に考えると、等級が x異なる場合、明るさは 100^x/5異なることになります。 1等星と 6等星の等級の違いは 6-1 = 5等級になり、明るさの違いは 100^5/5 = 100¹ = 100倍となってちゃんと定義通りになっています。

　ここで、星1と星2の明るさを比較することを考えます。 星1からのフラックスをF₁、星2からのフラックスをF₂とします。 このフラックスというのは、見かけの明るさに対応するものです。 また、星1の等級をm₁等、星2の等級をm₂等とします。 この場合、星1と星2の等級差はm₂-m₁なので、明るさの差は となります。 これは書き換えると となります。

　一方、フラックスからの明るさの比は F₁/F₂と書くことができるので、

見かけの等級の値

　ポグソンの式の導入によって等級の概念は曖昧なものでは無くなりました。 しかし上記のポグソンの式のみでは、2つの天体の等級の差 (m₁-m₂)は決まりますが、ある特定の天体の見かけの等級の値を決定することは出来ていません。

　等級の値を決めるには、何らかの基準が必要です。 そこで、(見かけの)等級の基準となる星を選び、その等級をm₀と定めます。 また、その星の明るさ(フラックス)の測定値をF₀とします。 この基準の星と比較した場合、星1と基準の星の等級差は

　こうなると、基準の星をどうするかが重要になって来ます。 ポグソンが 1856年に等級の定義を定めた際は、北極星の見かけの等級をちょうど 2と定め、北極星を基準に等級を決定していました。 つまり、F₀には北極星の明るさ(フラックス)、m₀には 2が入り、ある星からのフラックスF₁の測定値を代入することによってその星の等級m₁が計算出来ます。

　しかしその後、北極星は変光星であることが判明しました。 北極星が変光星の可能性があるという疑いは 1852年ごろに出ていましたが、間違いなく変光星であるという事実はアイナー・ヘルツシュプルング (Ejnar Hertzsprung)によって 1911年に明らかにされました。 現在では、ケフェイド変光星というタイプの変光星であることがわかっています。 北極星の変更度合いは時期によって異なり、1963年以前の観測では等級にして 0.1の振幅を持つ変動があり、またそれは徐々に小さくなっていました。 1966年以降に変更幅は急速に小さくなり、現在までに多少の変動はありつつ 0.05等級の振幅で変動をしています。

　いずれにせよ、光度に変動がある恒星を明るさの基準として用いるのは都合が悪いため、北極星は等級を評価する際の基準としては使われなくなりました。 その後は、こぐま座ラムダ星を 6.5等と定義するもの、北極星付近の96個の恒星を基準として等級を定めるものなど、複数の定義の変遷がありました。 現在の等級の基準は 1953年に定められたもので、複数の恒星を特定の波長のフィルターを通して測光した場合の平均値を元に定められています。

絶対等級とは

　天体の見かけの明るさの指標として見かけの等級の概念が導入され、定量的な評価方法としてポグソンの考案した定義が用いられているのは上で紹介した通りです。 見かけの等級では、その天体の本来放っている光量やその天体までの距離などの要素は考えず、単純に地球から見た時の明るさを評価していました。 しかし、地球から天体までの距離によらない明るさの比較をしたい場合は、天体までの距離と天体の明るさの違いが混ざり合った値である見かけの等級をそのまま使うことはできません。

　そこで使われるのが絶対等級 (absolute magnitude)です。 天体の絶対等級の定義は、天体を 10 pcの距離から見た時の等級です。 pc (パーセク, parsec)については後で紹介します。

　ここで pc (パーセク, parsec)は天文学で頻繁に用いられる距離の単位であり、
1 pc = 3.26156...光年 = 3.08568..×10¹⁶ m
となります。

　ずいぶんと中途半端な値だと思うかもしれませんが、パーセクにもちゃんとした定義があります。 それは、年周視差が1秒角となるような距離を 1 pcと定義する、というものです。 年周視差(stellar parallax, annual parallax)とは、地球の公転による位置変化によって天体の見かけの位置が変化する事や、あるいはその変化量です。 変化量は角度で表しますが、年周視差は非常に小さく、度を用いて表すのは不便であるため、度の 3600分の1である秒を用います。 時間の秒との混同を避けるため秒角と表す事もあります。

　年周視差の角度は、地球・太陽・天体の直角三角形を考えたときに、天体が頂点となっている方の角度に相当します。 この角度をθとし、太陽から天体までの距離をdをすると、この直角三角形には以下の関係式が成り立ちます。

　この式をdの式に直すと、

　この基準は、視差を意味する"parallax"と、角度の単位でもある秒(あるいは秒角)を意味する"second"から、"parsec"という名前が付けられています。

　ここでは、天体の見かけの等級とその天体までの距離から、その天体の絶対等級を計算するための関係式を導出します。

　ある天体の光度を とすると、その天体からrだけ離れた位置でのフラックスは

　この式から、天体からの距離r₁でのフラックスF₁は

　絶対等級の基準になる距離は、天体から 10 pcの距離でした。 そのため、r₁ = 10 pcとすると、F₁は天体から 10 pc離れた位置でのフラックスを意味します。 また、r₂を地球から天体までの距離 d [pc]とすると、F₂は地球でのフラックス(地球で観測出来るその天体からのフラックス)になります。 従って、フラックスの比は

　ここで、見かけの等級の違いを表すポグソンの式

　この式の右辺は、以下のように変形出来ます。

　天体の絶対等級 Mは以下の式で表される。

ただし、mは見かけの等級、dは地球から天体までの距離で、単位はパーセクとする。

　ここでは、見かけの等級と明るさの関係や、絶対等級と距離の関係などについての具体的な計算例を紹介します。 ここまでで計算したように、天体の明るさと等級の間には

　・・・(1)

　・・・(2)

　ここで、m₁ = 1、m₂ = 4とします。 1等星の明るさ(フラックス)がF₁、4等星の明るさがF₂ということになります。 (1)式に代入すると、

　当然ですが、代入する方を逆にしても同じ結果が得られます。 先ほどとは逆に、m₁ = 4、m₂ = 1としてみます。 この時は、4等星の明るさ(フラックス)がF₁、1等星の明るさがF₂ということになります。 同様に代入して計算すると、

　シリウスの等級を m₁ = -1.47、北極星の等級を m₂ = 2.00とします。 この場合、シリウスの明るさ(フラックス)がF₁、北極星の明るさがF₂ということになります。 例題 1と同様(1)式に代入して整理すると

　明るい方の星のフラックスをF₁、暗い方の星のフラックスをF₂とすると、2つの星の明るさが1000倍違うということは F₁/F₂ = 1000であるということになります。 これを(1)式に代入すると、

　今回の問題では 2つの星の明るさの比しか与えられていないため、等級の差を求めることはできますが、それぞれの等級を求めることは出来ません。

　見かけの等級と絶対等級の問題であるため、(2)式を使います。 m = 2.00、d = 100を代入すると、絶対等級 Mは

(1)
　まずはシリウスの絶対等級を求めます。 見かけの等級と距離が分かっているので、(2)式に値を代入すると、

　続いてデネブも同様に(2)式に値を代入すると、

(2)
　次に、見かけの等級での明るさを比較します。 シリウスの見かけの等級を m₁、デネブの見かけの等級をm₂として(1)式に値を代入すると、

(3)
　最後に、絶対等級での明るさを比較します。 ここで扱っているのは絶対等級ですが、等級間の明るさの比較をしたいので(1)を使います。 シリウスの絶対等級を m₁、デネブの絶対等級をm₂として(1)式に値を代入すると、

　シリウスは夜空で一番明るく見える恒星ですが、これは太陽系に比較的近い位置にあることが主な要因です。 実際の明るさとしてはデネブのように、シリウスの数千倍以上の明るさを持つ恒星も多数存在しますが、太陽系からの距離が離れているために見かけの明るさとしてはシリウスよりも暗いものばかりになります。

参考文献