空に見える天体の見かけの大きさを表す時に、通常大きさを表すような単位(センチメートルやメートルなど)を用いる事は出来ません。 空に定規を当てて大きさを測定する事は出来ないことや、見かけの大きさは天体の本当の大きさとその天体までの距離によって変わってしまうので、単純に長さで表すことができないことが原因です。

　同じ大きさの天体でも、観測者(例えば地球上)からの距離が遠ければ小さく見えますし、逆に近ければ大きく見えます。 また、天体の大きさが違っても、それぞれの天体までの距離によっては見かけの大きさが一緒になることもあります。 その模式図が以下の図になります。

　上の2つは、天体の大きさが同じで、距離が異なる場合の例です。 中段の図の方が天体までの距離が近いため、見かけの大きさは大きくなります。 一番下の図は、天体の大きさが異なるにもかかわらず、距離が異なるため見かけの大きさが等しくなる例です。 小さい天体が近距離に、大きい天体が遠距離にあるため見かけの大きさが同じになっています。

　このように、見かけの大きさを評価する時には、天体の大きさとその天体までの距離の両方が必要となります。 図にも示したように、観測者から見てその天体を見込む角度が何度になるのかという点が重要です。 小さい天体であっても近距離にあればその天体を見込む角度は大きく(見かけの大きさが大きく)、大きくても遠方であればその天体を見込む角度は小さく(見かけの大きさが小さく)なります。

　図中でφを使って表しましたが、ある天体の見かけの大きさを表す時は、角度を用いて表します。 見かけの大きさの直径は視直径 (apparent diameter)と呼ばれます。 半径の場合は視半径 (apparent radius)と呼びます。 角度であるため表記は度になりますが、一般に天体の見かけの角度は度より小さいため、それより細かい単位である分や秒もしばしば使われます。

　天体の見かけの大きさが何度になるのかは、幾何学的に求めることができます。

視直径の概算方法

　まずはおおまかに視直径を計算する方法を考えます。 上でも述べたように、天体の実際の大きさとその天体までの距離から、まずは視半径を計算します。

　上図のような状況を考えます。 天体間の距離(正確には観測者から天体までの距離)をa、天体の半径をrとし、観測者からその天体の半径を見込んだ視半径をθとします。 図では書いていませんが、視直径φは視半径θの2倍の値となります。 このとき、視半径θは次のような関係にあることがすぐに分かります。

　一般に、アークタンジェントを含む三角関数の値は手計算出来ませんが、ここで近似を用いると式が簡単になります。 天体までの距離と天体の半径では、大抵の場合天体までの距離の方が圧倒的に大きな値となります。 例えば地球と月との距離はおよそ38万kmですが、月の半径はおよそ 1700 kmであり、224倍もの違いがあります。 つまり、 という関係になっています。 この場合、 、つまり視半径は非常に小さい値となります。

　θが微少である場合、 と近似することができます。 そのため、視半径はarctanを使わずに近似的に

　天体の見かけの大きさ(視直径)φは、天体までの距離をa、天体の半径をrとすると、

で求めることができる。 ただし、 であるとする。

　実際にこの式を使って、身近な天体の視直径を計算してみます。

　まずは月の見かけの大きさを計算します。 地球と月の平均的な距離はおよそ 384400 kmです。 月の半径は 1737.15 kmとなるので、これを代入すると
φ = 9.038...× 10^-3 [rad]
という値になります。 ここでの角度の単位はラジアン [rad]になっています。 そこで度になおすために 360/2π をかけると、
φ = 0.51785... [度]
となります。 角度の単位は 1度=60分、1分=60秒であるため、この値は 31.07 分ということになります。

　次に太陽の見かけの大きさを計算します。 地球と太陽の平均的な距離は 1 AUであり、これは 1.49597870700 × 10⁸ kmです。 また、太陽の赤道半径は 6.96 × 10⁵ kmであるため、代入すると
φ = 9.304...× 10^-3 [rad]
となり、度に直すと
φ = 0.53313... [度]
になります。 分で表すと 31.99 分です。

　ここからは、少し細かい話まで取り入れた場合にどうなるかを考えてみます。 上では、観測者から天体までの距離を単にaと起きましたが、実際にaに代入した値は天体間の距離です。 天体間の距離と言った場合は、天体の中心の間の距離を指す場合が多いため、観測者が乗っている天体の大きさを考慮した場合に式がどう変わるかを考えてみます。

　考えるのは以下の図のような状況です。

　天体間の距離をaとし、観測者がいる天体の大きさをr₀とします。 この場合、観測者から対象の天体までの距離はa-r₀となるため、天体を見込む角度に関して

　観測者がいる天体の半径r₀が、天体間の距離より十分に小さい場合、つまり の極限を考えると、 より、

　次に、天体までの距離が非常に近く、天体までの距離と観測している天体の半径の比があまり大きくならないような状況での見かけの大きさについて考えてみます。 考えるのは以下の図のような状況です。 ここでは再び、観測者のいる天体の大きさは無視する事とします。

　一番初めの例では、天体までの距離をaとし、天体の半径をrとして計算しました。 しかし厳密には、図のように天体の半径r分をその天体の大きさとして認識するのではなく、図中のr'の部分を大きさとして認識することになります。 天体までの距離が遠い場合はこの効果は無視出来ますが、図のように天体に近くなるとこのずれは大きくなって無視出来なくなりそうです。 そこで、ここではこの効果も含めて見かけの大きさを計算してみたいと思います。

　図より、先程までと同様に視半径について以下の式が成り立ちます。

　図中の相似な三角形をそれぞれ取り出して描くと、以下のようになります。

　これらの結果を用いると、tanθは

　従って、視半径は

　視半径の式

　しかし、 では無い状況では、最初に求めた視直径の式では誤差が大きくなってしまいます。

　天体の視直径φのより厳密な表式は、天体までの距離をa、天体の半径をrとしたとき、

で与えられる。

誤差の評価

　下に、視直径の具体的な計算例をいくつか示します。

	(度)	(度)	誤差 (%)
地球から見た月	0.51785485	0.5178530873	0.00034
月から見た地球	1.901441735	1.901354481	0.0046
イオから見た木星	19.0855322	18.99741637	0.46

　先程も書いたように、地球と月との距離はおよそ38万km、月の半径はおよそ 1700 kmであり、比は 224倍になります。 そのため、地球から見た月の視直径の場合、初めに求めた近似的な表式を用いた場合も厳密な視直径の表式との誤差はごくわずかで、0.00034%にしかなりません。

　月から見た地球の視直径の場合は、地球の半径がおよそ 6400 kmであることを考えると、比は小さくなって 59倍となります。 そのため、近似的な表式を用いた場合の誤差は大きくなりますが、それでも 0.0046%の違いでしかありません。 地球-月系においては、月半径、地球半径ともに両者の距離より十分小さいため、近似的な表式でも十分正しい値を計算出来ると言えそうです。

　イオは木星の衛星のひとつで、比較的木星に近い位置を公転しています。 イオの公転半径(軌道長半径)は 421700 km、また木星半径は 69911 kmなので、両者の比はおよそ 6倍となります。 この場合、近似的な表式を用いたことによる誤差は 0.46%となり、地球から見た月や、月から見た地球のケースよりずっと大きな値になることが分かります。 それでも誤差は 1%未満の値なので、イオから見た木星のケースでも誤差は微少であると言えます。

　もっと極端な場合も含めた、そのほかの計算例も示します。

	(度)	(度)	誤差 (%)
フォボスから見た火星	42.46140591	41.4963675	2.3
メティスから見た木星	66.21063253	62.5875819	5.5
静止衛星から見た地球	17.40097618	17.33417816	0.38
ISSから見た地球	140.4358626	108.8291369	23.3

　フォボスは、2つある火星の衛星のうち火星に近い位置を公転している天体です。 フォボスの軌道長半径は 9378 km、火星の赤道半径は 3396 kmなので比は 3倍も無い程度であり、誤差も大きくなる事が予想されますが、計算結果はやはり 2.3%と大きな値となりました。

　メティスは、発見されている木星の衛星の中で最も内側の軌道を公転しているものです。 メティスの軌道長半径は 128000 km、木星の赤道半径は 69911 kmなので比は 2倍を切ります。 計算すると、誤差は 5.5%になりました。

　下二段は、地球の周囲を回る人工衛星の軌道上から地球を見た場合に、地球の視直径が何度になるかを計算したものです。 静止衛星は、赤道上空 35786 kmの静止軌道を周回している人工衛星です。 静止衛星の軌道長半径は、この値に地球の赤道半径を足した値になります。 静止衛星から見た地球の視直径を計算すると、厳密な場合と近似した場合のどちらもおよそ 17度となります。 静止衛星の軌道長半径は地球半径よりも十分に大きいため、誤差は 0.38%に留まりました。

　一方、国際宇宙ステーション (International Space Station, ISS)の場合は上空およそ 400 kmを周回しています。 そのため、ISSの軌道長半径は 400 kmに地球半径を足した値になりますが、地球の半径がおよそ 6400 kmであるためISSの軌道長半径は地球半径と大差ない値になります。 そのため、厳密な式と近似式の誤差は 23.3%にもなります。

　最も身近な天体である月と太陽の視直径と、日食との関連性について考えてみます。 既に計算したように、地球から見た月の視直径と、地球から見た太陽の視直径は非常に近い値になるのでした。 この一致は偶然の産物ですが、この非常に近い視直径が面白い現象を引き起こします。 それは、日食の際の皆既日食 (total eclipse)と金環日食 (annular eclipse)の違いです。

　日食は、太陽-月-地球が一直線に並んで太陽が月に隠される現象です。 月と太陽の見かけの大きさが非常に近いため、一直線になった時は太陽の大部分が隠されることになりますが、見かけの大きさの僅かな違いによって太陽が全て隠される場合(皆既日食)と、全てを隠しきれずにリング状に見える場合(金環日食)に分かれます。

　視直径は天体の大きさとその天体までの距離によって変わります。 太陽と月の大きさは変化しないので、見かけの大きさが変わるとしたら天体までの距離が変化していることになります。 先程の計算例では平均的な距離を使って計算しましたが、天体の軌道はわずかに円からずれた楕円形をしているため、距離は刻一刻と変化しています。

　例えば月の軌道離心率は 0.055程度であり、月の軌道長半径(平均的な距離)が 384400 kmなのに対して、月が近地点(最も地球に近付く点)にいる時は 363304 km、遠地点(最も地球から遠ざかる点)にいる時は 405495 kmと変化します。 また地球の軌道離心率は 0.0167程度であり、地球の軌道長半径がおよそ 1.496 × 10⁸ kmなのに対して、地球が近日点(最も太陽に近付く点)にいる時は 1.471 × 10⁸ km、遠日点(最も太陽から遠ざかる点)にいる時は 1.521 × 10⁸ kmと変化します。 それぞれの具体的な数値は以下のようになります。

	近点での視直径	平均視直径	遠点での視直径
地球から見た月	0.5479 度 (32.88 分)	0.5179 度 (31.07 分)	0.4909 度 (29.45 分)
地球から見た太陽	0.5422 度 (32.53 分)	0.5331 度 (31.99 分)	0.5244 度 (31.46 分)

　この結果から、視直径の大きさの順番は、

　近地点での月 > 近日点での太陽 > 遠日点での太陽 > 遠地点での月

であることが分かります。

　このように、月が軌道上のどの位置にいるか、また地球が軌道上のどの位置にいるかによって、月と太陽の見かけの大きさの大小は変化します。 そのため、状況によっては「月の視直径 > 太陽の視直径」となって皆既日食になり、逆の「太陽の視直径 > 月の視直径」となった場合は金環日食になります。 また、日食の最中にお互いの視直径の大きさが一致する特別な場合は、ある領域では皆既日食が見られ、それ以外の領域では金環日食になる場合があり、このような日食は金環皆既日食 (hybrid eclipse)と呼ばれます。 その他、太陽-月-地球が一直線からややずれた場合は、太陽の一部分だけが隠される部分日食 (partial eclipse)となりますが、今回の視直径の話との関連性は薄いので省略します。