1のn乗根

Tweet

 ここでは 1 の \(n\)乗根の導出方法と、\(n\) 乗根の和と積について簡単に見ていきたいと思います。

1 の \(n\) 乗根の導出

 導出には、\(\exp\left(ix\right)=\cos x+i\sin x\) の関係式を用います。 1 の \(n\) 乗根、すなわち \(n\) 乗すると 1 になる数を \(\omega_{k}\) と置きます。 ただし、\(n\) は 2 以上の整数であるものとします。 \(\omega_{k}\) を複素数表示で \begin{align*} \omega_{k}=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right) \end{align*} と置きます。 これは複素数の極座標表示です。 \(\omega_{k}^{n}=1\) となるように、\(r\) と \(\theta\) を定めます。ただし \(r\) と \(\theta\) は正の実数で、\(0\leq\theta<2\pi\) とします。

 両辺を \(n\) 乗すると、 \begin{align*} \omega_{k}^{n}=r^{n}\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n} \end{align*} となります。 これが 1 となるように \(r\) と \(θ\theta\) 選んでやれば 1 の \(n\) 乗根が求められます。 ここで、「ド・モアブルの定理」を用いると、 \begin{align*} \omega_{k}^{n}=r^{n}\left(\cos n\theta+i\sin n\theta\right) \end{align*} と変形することが出来ます。ド・モアブルの定理はあまり馴染みが無いかもしれませんが、かつて高校数学で複素数平面が必修だった頃は高校で習う定理でした。 これが 1 と等しくなるということなので、実部と虚部を比較してやると \begin{align*} r^{n}\cos n\theta&=1 \\ r^{n}\sin n\theta&=0 \end{align*} という式が得られます。 この 2 式を 2 乗して足すと、\(r^{2n}=1\) となり、\(r\) は正の実数なので \(r=1\) となります。よって、 \begin{align*} \cos n\theta&=1 \\ \sin n\theta&=0 \end{align*} の2式が得られます。 よって、\(\theta\) は \begin{align*} \theta=\frac{2\pi k}{n}\,\,\left(k=0,1,2,\cdot\cdot\cdot,n-1\right) \end{align*} となります。 \(0\leq\theta < 2\pi\) であることに注意します。 よって、条件を満たす \(\theta\) は全部で \(n\) 個あることが分かります。

 以上の結果から、1 の \(n\) 乗根は \begin{align*} \omega_{k}=\cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right)\,\,\left(k=0,1,2,\cdot\cdot\cdot,n-1\right) \end{align*} となります。

計算例

 例として、次数が低い時を示します。
\(n=2\) の時は明らかに解は 1 と -1 です。
\(n=3\) の時は\(k=0,1,2\)であり、実際に代入すると \begin{align*} \omega_{0}&=1 \\ \omega_{1}&=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \\ \omega_{2}&=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \end{align*} となります。 1 の 3 乗根であれば高校数学でも扱う範囲なので知っている人も多いかと思います。
\(n=4\) の時は \(k=0,1,2,3\) であり、代入すると \begin{align*} \omega_{0}&=1 \\ \omega_{1}&=i \\ \omega_{2}&=-1 \\ \omega_{3}&=-i \end{align*} となります。
\(n=6\) の時は \(k=0,1,2,3,4,5\) であり、代入すると \begin{align*} \omega_{0}&=1 \\ \omega_{1}&=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \\ \omega_{2}&=-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \\ \omega_{3}&=-1 \\ \omega_{4}&=-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \\ \omega_{5}&=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \end{align*} となります。

1 の \(n\) 乗根の複素数平面上での振る舞い

\begin{align*} \omega_{k}=\cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right)\,\,\left(k=0,1,2, \cdot\cdot\cdot,n-1\right) \end{align*}  この式より、1 の \(n\) 乗根は複素数平面上の半径 1 の円の上に位置することが分かります。 2 乗根の 1 と -1 を複素数平面上に描くと、実軸上の正反対側に位置しています。 また、3 乗根の 3 つの場合は、複素数平面上では正三角形を描く位置関係にいる事が分かります。 4 乗根は実軸と虚軸のそれぞれ反対側にいるため正方形の位置関係です。 6 乗根は正六角形になることも容易に確かめられます。

 このように、1 の \(n\) 乗根は、複素数平面上では正 \(n\) 角形を描く位置関係になっています。

1 の \(n\) 乗根の和

 次に 1 の \(n\) 乗根の和を求めてみます。 1 の \(n\) 乗根を求めるという操作は、 \begin{align*} x^{n} = 1 \end{align*} という方程式の解を求めるという事と同じです。この式は \begin{align*} x^{n}-1 = 0 \end{align*} となります。 先ほど求めた \(n\) 個の 1 の \(n\) 乗根は全てこの方程式の解になっているので、左辺は因数分解した形として \begin{align*} x^{n}-1 = \left(x-\omega_{0}\right)\left(x-\omega_{1}\right)\cdot\cdot\cdot\left(x-\omega_{n-1}\right) \end{align*} と書くことが出来ます。 この式の右辺を展開すると、 \begin{align*} x^{n}-1 = x^{n}-\left(\omega_{0}+\omega_{1}+\cdot\cdot\cdot+\omega_{n-1}\right)x^{n-1}+\cdot\cdot\cdot+\left(-1\right)^{n}\omega_{0}\omega_{1}\cdot\cdot\cdot\omega_{n-1} \end{align*} となります。その他の項もありますが不要なので省略しています(両辺を比較すれば分かりますが、省略した項の係数は全て 0 になります)。 これは恒等式になっており、\(x^{n-1}\) の係数を比較してやる事で \begin{align*} \omega_{0}+\omega_{1}+\cdot\cdot\cdot+\omega_{n-1}=0 \end{align*} であることが分かります。 これは 1 の \(n\) 乗根の全てを足し合わせた数です。よって、1 の \(n\) 乗根の和は 0 であるということが分かりました。 和の記号を使ってまとめると、 \begin{align*} \sum^{n-1}_{k=0}\omega_{k}=0 \end{align*} となります。

 1 の \(n\) 乗根の総和が 0 であることは、複素数平面上での位置関係から感覚的に理解することが出来ます。 1 の \(n\) 乗根は複素数平面上で正 \(n\) 角形の位置関係にあります。 ベクトル的に考えると、大きさが 1 で正 \(n\) 角形の頂点へ向かう \(n\) 個のベクトルがあることになります。 これらのベクトルの全ての和を考えると、0 になるということです。

1 の \(n\) 乗根の積

 最後に、1 の \(n\) 乗根を全てかけた数を求めたいと思います。 \begin{align*} x^{n}-1 = x^{n}-\left(\omega_{0}+\omega_{1}+\cdot\cdot\cdot+\omega_{n-1}\right)x^{n-1}+\cdot\cdot\cdot+\left(-1\right)^{n}\omega_{0}\omega_{1}\cdot\cdot\cdot\omega_{n-1} \end{align*} の恒等式の、\(x\) の次数が 0 の項を比較してやると、 \begin{align*} \left(-1\right)^{n}\omega_{0}\omega_{1}\cdot\cdot\cdot\omega_{n-1}=-1 \end{align*} となります。 従って、 \begin{align*} \omega_{0}\omega_{1}\cdot\cdot\cdot\omega_{n-1}=-\frac{1}{\left(-1\right)^{n}} \end{align*} となり、1 の \(n\) 乗根の全ての積は、\(n\) が偶数の時は -1、\(n\) が奇数の時は 1 となることが分かります。 積の記号を使ってまとめると、 \begin{align*} \prod^{n-1}_{k=0}\omega_{k}=\left\{ \begin{array}{l} -1 & (n=2, 4, 6, \cdot\cdot\cdot) \\ 1 & (n=3, 5, 7, \cdot\cdot\cdot) \\ \end{array} \right. \end{align*} と表すことが出来ます。


2017年06月05日 更新
▼ページ更新履歴
TOPへ戻る